Exemple:
On appelle somme des vecteurs u et v, notée u + v, le vecteur w associé à la translation composée des translations de vecteurs u et v.
Soit t1 la translation de vecteur u et t2 la translation de vecteur v.
Appliquer la translation t1 puis la translation t2 revient à appliquer la translation t de vecteur w.
La notation de la norme d'un vecteur A s'écrit :
Formule de calcul de la norme d'un vecteur:
La norme d'un vecteur est la longueur d'un vecteur
Le produit scalaire d'un vecteur
Le produit scalaire de trois vecteurs dans le plan est une opération mathématique qui combine trois vecteurs pour produire un scalaire (un nombre réel). La formule dépend de la façon dont les vecteurs sont donnés :
Le produit scalaire de deux vecteurs u=(u1,u2,u3) et v = (v1 , v2 , v3 ) est donné par la formule :
u.v=u1v1+u2v2+u3v3
La notation du produit de scalaire de A par B s'écrit A.B
et
et
sont colinéaires
sont colinéaires
que les vecteurs
que les vecteurs
Dire que les points distincs A, B, C sont alignés revient à dire
Dire que les droites (AB) et (CD) sont parralèles revient à dire
Deux vecteurs non nuls u et v sont colinéaires signifie qu'ils ont même direction c'est à dire qu'il existe un nombre réel tel que :
=
On appelle produit du vecteur u par le réél k, le vecteur noté ku:
- De même direction
- De même sens que u si k>0 et de sens contraire si k<0,
- De norme égale à k fois la somme de u si k>0 et -k fois la norme de u si k<0
Propriété caractéristique d'un parallélogramme:
Dire que ABCD est un parallélogramme revient à dire que :
+
=
Pour tous points de A, B et C du plan, on a:
+
=
Deux vecteurs sont opposés lorsqu'ils ont la même direction, la même longueur et qu'ils sont de sens contraire.
-
=
Un vecteur est nul lorsque les points A et B
Un vecteur
=
sont confondus.
et
et
Dire que B est milieu du segment [AC] revient à dire que
sont égaux
sont égaux
alors B et le milieu du segment [AC]
La reciproque est vraie: si
et
Les deux vecteurs
ont la même direction, le même sens et la même longueur.
Dire que ces vecteurs sont égaux revient à dire que le quadrialatère ABDC est un parallèlogramme, éventuellement aplati.
Est un représentant du vecteur
Un vecteur est défini par:
1-Une direction : Celle de la droite (AA')
2-Un sens : de A vers A'
3-Une longueur AA'(norme du vecteur)
- Un vecteur à plusieurs représentation car il n'a pas de position prédéfini sur le plan.
- Un vecteur se représente à l'aide d'une flêche.
- Un vecteur ne dépend pas des points qui l'on construit
- Deux vecteurs sont égaux lorsqu'ils ont même direction, même sens et même longueur.
Voici un rappel des différentes propriétés des vecteurs. Merci à Yvan Monka pour son cours en ligne sur les vecteurs.
Les vecteurs
